Логарифмы: понятие, свойства, примеры и их применение

Понятие логарифма

Логарифмы — это тема, на самом деле, не такая сложная, как может показаться на первый взгляд.

И самое простое с чего можно начать, это разобрать вот такое несложное уравнение:

2^x = 4

2^x = 2²

x = 2

Т. е. левая часть уравнения представлена, как число 2 в степень x и, по условию, эта запись равна 4.

Представим правую часть уравнения, т. е. 4, в виде 2 во второй степени и отбросим одинаковые основания.

Получим x равным 2.

Или:

3^x = 27

3^x = 3³

x = 3

В данном уравнении мы 27 представили в виде 3 в 3 степени.

Основания стали равными, поэтому отбрасываем их и получаем x = 3.

Если выразить x через логарифм (log), то запись будет следующая:

x = log₃27

Читается она так: “логарифм двадцати семи по основанию три” или “логарифм по основанию три от двадцати семи”.

Получается, что логарифм — это число, в которое надо возвести 3 (основание степени), чтобы получить 27 (результат возведения в степень).

Или, как из нашего первого уравнения, логарифм — это число, в которое надо возвести 2, чтобы получить 4.

Теперь обратимся непосредственно к понятию логарифма.

Слово логарифм возникло из сочетания таких греческих слов, как логос — отношение и аритмос — число, и, таким образом, означало «число отношения».

Получается, что логарифмом числа k по основанию m называется показатель степени с основанием m, равной k.

Если сказать проще, то логарифм — это степень, в которую нужно возвести m для получения k.

Но, здесь есть обязательное условие: основание m должно быть > 0 и не равно 1, также и k должно быть > 0.

log _m k = x, где:

m > 0; m ≠ 1; k > 0.

История возникновения логарифмов

Прежде чем приступить к дальнейшему разбору логарифмов, давайте обратимся к истории их возникновения.

Если что, этот пункт можно опустить 🙂

Начало положено еще в античные времена.

Если прибегнуть к свойствам степеней, то известно, что при перемножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.

Так вот, в VIII веке индийский математик Вирасена при исследовании степенных зависимостей, опубликовал таблицу целочисленных показателей для оснований 2, 3 и 4.

Она положила начало созданию логарифмов.

Важные открытия в области изучения логарифмов были осуществлены в Европе.

В тот период увеличилась потребность в сложных расчетах, в связи с развитием точных наук. В начале XVI века трудность состояла в вычислениях и была связана с умножением и делением многозначных чисел, возведением в степень и извлечением корней.

Необходимо было упростить эти расчеты. И в конце века появилась мысль упрощения, которая состояла в замене умножения на простое сложение.

А уже деление заменялось на вычитание.

Также была упрощена работа со степенями и извлечением корней.

В истории математики зародилось понятие «Логарифм Непера» с обозначением LogNap. Его основное свойство: «Если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую».

С Непером в одно и тоже время изучением логарифмов занимался английский математик Генри Бригс. В 1617 г. он опубликовал таблицу, в которой содержались 14-значные десятичные логарифмы от 1 до 1000 с четырнадцатью знаками.

В 1703 г. были изданы первые таблицы на русском языке при участии русского математика Леонтия Филипповича Магницкого.

Активно теорию логарифмов развивал петербургский академик Леонард Эйлер.

Он впервые стал рассматривать логарифмирование, как действие, которое обратно возведению в степень, им введены в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса».

Важный шаг в исследовании логарифмической функции сделал Николай Кауфман (известный как Меркатор), он представил логарифмическую функцию в форме бесконечного степенного ряда.

К такому же результату пришли Гудде в 1656 г. и Ньютон в 1665 г.

Виды логарифмов

*log _m k = x, его мы уже рассматривали.

* Десятичный логарифм — это логарифм с основанием 10. Обозначается как lg.

С ним легко вычисляются круглые числа.

lg k тоже самое, что log ₁₀ k

* Натуральный логарифм — это логарифм с основанием е, где экспонента е ≈ 2,718…

Обозначается как ln.

По экспоненте размножаются бактерии, увеличиваются популяции, приумножаются доходы, остывают напитки и многое другое.

ln k тоже самое, что log _еk

* Двоичный логарифм — логарифм, основание которого равно 2. Обозначается, как lb.

lb k тоже самое, что log₂ x

Используется программистами, так как компьютеры думают и считают в двоичной системе.

Свойства и формулы логарифмов

Свойства применяются как слева направо, так и справа налево.

Логарифм единицы с любым основанию всегда равен нулю: log _m 1 = 0

Например: log ₁₅ 1 = 0

Логарифм, где число и основание совпадают, равен единице: log _m m = 1

log ₁₅15 = 1

Основное логарифмическое тождество: log _m m^k = k

log ₄ 4⁵ = 5

Логарифм произведения чисел равен сумме их логарифмов: log _m (k ∙ b) = log _mk + log _m b

Например: log ₄ 12,8 + log ₄ 5 = log ₄(12,8 ∙ 5) = log ₄64 = 3

Логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя: log _mk/b = log _mk – log _mb

Например: log ₃54 – log ₃6 = log ₃54/6 = log ₃ 9 = 2

Если основание или аргумент возведены в степень, то их можно выносить перед логарифмом: log _mk^b = b ∙ log _m k, например: log ₄4^0,26 = 0,26 ∙ log ₄ 4 = 0,26

Показатель степени основания также выносим перед логарифмом, но в виде обратного числа.

Вместо n будет 1/n: log _mⁿ k = 1/n ∙ log _mk, например:

log ₃^0,5 9 = 1/0,5 ∙ log ₃ 9 = 2 ∙ 2 = 4

Cоединив обе формулы, получим: log _mⁿ k^b= b/n ∙ log _m k

log₃² 9 ⁶ = 6/2 ∙ log ₃ 9 = 3 ∙ 2 = 6

Основание логарифма можно изменить: log _m k = log _b k / log _b m, например: log ₄ 32 = log ₂ 32 / log ₂ 4 = 5/2 = 2,5

Поэтому можно поменять местами основание и аргумент: log _m k = 1 / log _k m, например: log ₄ 2 = 1 / log ₂ 4 = 1/2 = 0,5

Примеры решения логарифмов

Рассмотрим несколько примеров решения логарифмов и воспользуемся их свойствами.

Пример 1:

Упростите log ₇ 3 + log ₇ 2

Решение: log ₇ 3 + log ₇ 2 = log ₇(2 ∙ 3) = log ₇ 6

Пример 2:

Представьте log ₇12 в виде суммы логарифмов.

Решение: log ₇ 12 = log₇(3 ∙ 4) = log₇ 3 + log₇ 4

Пример 3:

Вычислите значение выражения:

log ₃ 6 — log ₃ 2

log ₃ 6 — log ₃ 2 = log ₃ 6/2 = log ₃ 3 = 1

Пример 4:

Упростить выражение 3 log ₃ 2 — log ₃ 4

3 log ₃ 2 — log ₃ 4 = log ₃ 2³ – log ₃ 4 =

= log ₃ 8 – log ₃ 4 = log ₃ 8/4 = log ₃ 2

Логарифмическая функция

Понятие логарифмической функции

Функция, заданная формулой у = log_ах, называется логарифмической функцией с основанием а, где а > 0, а = 1.

Свойства логарифмической функции

Область определения – множество всех положительных чисел. Это следует из определения логарифма, т. к. выражение log_ax имеет смысл только при x > 0.

Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел.

Это следует из того, что для любого действительного числа b есть такое положительное число x, что log_a x = b, т.е. уравнение log_ax = b имеет корень.

Такой корень существует и равен x = a^b, так как log_a a^b = b.

Возрастающая функция, если a > 1, и убывающая функция, если 0 < a < 1.

Если a > 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при x > 1, отрицательные — при 0 < x < 1. Если 0 < a < 1, то функция y = log_ax принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при x > 1.

Это следует из того, что функция y = log_ax принимает значение, равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

Решение логарифмических уравнений

Пример 1:

Решите уравнение log ₅ x = 3

Решение: Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ): x > 0, т.к. под знаком логарифма должно быть положтельное выражение.

Для этого воспользуемся определением логарифма, т.е. представим число x как степень основания 5 логарифма, причем показатель степени равен 3:

log₅ x = 3,

x = 5³

x = 125

Найденное значение принадлежит ОДЗ, следовательно, является корнем уравнения.

Пример 2:

Решите уравнение

log ₂(3x + 6) = log ₂ 12 .

Здесь два логарифма с одинаковым основанием 2.

Избавимся от логарифмов и приравняем аргументы:

3x + 6 = 12, оставим неизвестное в левой части: 3x = 12 — 6,

3x = 6, отсюда x = \( \cfrac {6}{3} \),

получаем: x = 2

Решение логарифмических неравенств

log₅ (15 + 3x) > log₅2x

Начнём с области допустимых значений (ОДЗ). Логарифмы определены только для положительных чисел.

Решая эту систему, получим: x > 0

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому — избавимся от логарифмов.

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x

3x — 2x > -15

x > −15

Согласно этой системы

ответом будет x > 0

Применение логарифмов в жизни

Логарифмы применяются в любой науке, связанной с вычислениями.

Но иногда даже в такой, которая не связана с ними.

Разберем некоторые из них:

Астрономия

«Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».

Это фраза великого ученого Лапласа о логарифмах упоминает астрономов. Астрономы не редко проводят сложные вычисления на основе данных, полученных в ходе долгих наблюдений.

В астрономии задействованы очень большие масштабы.

Для представления Вселенной как объекта или обзора ее со стороны времени нужен соответствующий масштаб.

Человеческое сознание не способно воспринимать такие вещи в реальном размере, а иногда даже не может воспринять в 10000000 раз уменьшенном виде.

Для этого была создана логарифмическая шкала, которая используется не только в астрономии.

Практически каждая вторая формула в астрономии, астрофизике и других перекрестных науках не обходятся без логарифма. Например, в расчетах звездных величин, площадей поверхности планет и др.

*Для заметки:

Звездная величина – это классы, на которые разделены звезды по их блеску.

Болометрическая звездная величина – это величина по всему спектру, включающая невидимое глазом излучение.

Навигация

Локсодромия – линия на сфере, которая пересекает под одинаковым углом меридианы.

С использованием в навигации магнитных компасов стало зарождаться понятие локсодромии.

Например, самолет летит с постоянным курсом относительно меридиана, над которым пролетает.

Если магнитное склонение нулевое и нет ветра, то самолет в этой ситуации осуществляет движение по линии локсодромии.

Она представляет собой логарифмическую спираль на сфере.

Она асимптотически (бесконечно приближение, но не достижение) приближается к полюсам, но никогда не пересекает их.

Психология

Громкость звука измеряют в децибелах, которые пропорциональны логарифму мощности звука, воздействующего на ухо.

Употребление логарифмических шкал продиктовано особенностями наших органов чувств: зрения, слуха и т.д.

Человеческий мозг воспринимает раздражения от органов чувств пропорционально силе раздражителя.

Поэтому ухо одинаково способно слышать шорох листьев и не оглохнуть от громкого звука работы станков на заводе.

А глаз может видеть блеск снега на свету и не ослепнуть от того, что посмотрит на Солнце, которое в миллиарды раз ярче.

История

Логарифмическая шкала позволяет увидеть и осознать объекты большого масштаба, что позволяет применять понятие логарифма и в истории.

Для представления всей эволюции человечества понадобится логарифмический масштаб (шкала).

Такая система называется логарифмической шкалой времени.

Поэтому логарифмы применяются в математическом моделировании развития мира, культуры, экономики и т. п.

Использование логарифмов упрощает и ускоряет людям сложные вычислительные операции.

Логарифмы в природе

Больше всего логарифмов можно встретить в природе в виде логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль — это плоская кривая, описываемая точкой, движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек, называемой полюсом логарифмической спирали.

И происходит это так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса изменяется пропорционально углу поворота.

Логарифмическая спираль в математике.