Понятие уравнения
Равенство с неизвестным числом называется уравнением. Неизвестное число надо найти.
Неизвестные обозначаются строчными латинскими буквами. Чаще всего это x, y, z.
Примеры простейших уравнений:
— простые равенства:
x = 2, y = 5;
— с арифметическими действиями:
x + 5 = 26; y − 9 = 4; 2 · k = 16; 18 : z = 3;
— со скобками:
6 · (x − 2) = 18; (41 + x) − 12 = 83 и др.
Неизвестное может встречаться в уравнении несколько раз. Тогда такое уравнение будет называться уравнением с двумя неизвестными, с тремя неизвестными и т.д. по числу неизвестных.
Неизвестное может быть расположено не только в левой части уравнения, но и в правой, и даже в обоих частях одновременно.
x + 2 + 5 · x − 2 − x = 10
6 − 6 = k + 6
6 · x − 3 = 3 · (x + 10)
В других классах Вы познакомитесь уже со степенными, показательными и логарифмическими уравнениями.
Корень уравнения
Понятие

Давайте разбираться что это такое. Например, нам дано уравнение с одним неизвестным или переменной.
Если подставить вместо переменной число, то уравнение станет числовым равенством.
Верным или неверным это будет ясно во время его решения.
Дано уравнение x + 2 = 5.
Заменим x на число 3, то равенство станет верным, а если на 2, то получится неверное равенство 2 + 2 = 5.
Конечно же нам нужны те значения, с которыми равенство будет верным.
Они называются корнями уравнения или решениями.
Корень уравнения – это значение переменной, с которым данное уравнение обращается в верное равенство.
Следовательно, корнем уравнения x + 2 = 5 будет число 3, либо x = 3
Когда уравнение корней не имеет
Может быть такое, что уравнение не имеет корней.
Например, 0 · y = 2.
Вместо y можем подставить много разных чисел, но ни одно из них не обратит это уравнение в верное равенство, так как умножение на 0 всегда будет 0.
Если в уравнении корней нет, то пишем: «уравнение корней не имеет».
Можно в этом случае указать знак пустого множества ∅.
Если корни есть и их несколько, то пишем их через запятую.
Несколько корней уравнения
Бывают такие уравнения, которые имеют несколько корней.
У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
В уравнении x − 6 = 10 только один корень – 16.
Уравнение x2 = 4 имеет два корня: 2 и -2.
В x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – 0, 1 и 2.
В уравнении y = y корней бесконечно много.
Допускается запись корней в виде простейших равенств.
Например, x = 2.
Решить уравнение, значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.
Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-2=10
Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 2, чтобы переменная x осталось в левой части, а известные (т.е. числа) в правой части. Получим: x = 12
Иначе говоря, мы -2 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +2, так как при переносе через равно знаки меняются на противоположные.
Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 12.
12 — 2 = 10
Ответ: x = 12
Правило уменьшения уравнения в несколько раз
Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от ненужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз.
Рассмотрим пример:
4x = 24
Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа.
Но нам мешает коэффициент 4 который стоит перед переменной x.
Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между числом 5 и переменной x стоит умножение 4⋅х.
Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, то можно было бы перенести 4 вправо.
В данном случае мы можем все уравнение уменьшить в 4 раза или разделить на 4.
Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.
4x = 24
4x : 4 = 24 : 4
4 : 4x = 6
1x = 6 или x = 6
Делаем проверку уравнения 4x = 24.
Вместо переменной x подставляем 6.
4 ⋅ 6 = 24
24 = 24
Мы получили верное равенство, корень уравнения найден правильно.
Ответ: x = 6.
Правило увеличения уравнения в несколько раз
Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения \( \cfrac{х}{3} \) = 7
Решение:
В данном случае нам необходимо избавиться от тройки в знаменателе.
Для этого все уравнение увеличим в 3 раза или умножим на 3.
Обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.
\( \cfrac{х}{3} \) = 7
3 ∙\( \cfrac{х}{3} \) = 7 ∙ 3
x = 21
Сделаем проверку уравнения.
Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21, тогда:
\( \cfrac{21}{3} \) = 7
7=7
Мы получили верное равенство.
Ответ: корень уравнения равен x = 21
Решение уравнений. Примеры
Разберем уравнение:
\( \cfrac{х}{5} \) – 1 = 8
Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения. Тогда знак “-“ изменится на противоположный
\( \cfrac{х}{5} \)= 8 + 1
\( \cfrac{х}{5} \) = 9
Теперь нужно все уравнение умножим на 5, чтобы убрать из знаменателя 5.
5 ∙ \( \cfrac{х}{5} \) = 9 ∙ 5
x = 45
Выполним проверку.
Подставим в уравнение найденный корень.
\( \cfrac{45}{5} \) — 1 = 8
Рассмотрим еще одно похожее уравнение
\( \cfrac{х}{7} \) + 11 = 21
Чтобы найти неизвестную переменную, в такого вида уравнениях, как мы уже разобрали, надо применять два правила.
Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых
\( \cfrac{х}{7} \) + 11
1 сл. 2 сл.
Здесь переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:
\( \cfrac{х}{7} \) = 21 — 11 (переносим 11 в правую часть уравнения, но с противоположным знаком)
\( \cfrac{х}{7} \) = 10
Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:
x = 10∙7
x = 70
Ответ: x = 70
Теперь разберем следующее уравнение
5y — 5 = 30
Правая часть уравнения представляет собой разность:
5y — 5
уменьшаемое вычитаемое
Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, к разности прибавить вычитаемое:
5y = 30 + 5 (переносим 5 в правую часть уравнения, знак “-“ меняем на противоположный)
5y = 35
Получили простое уравнение, в котором y — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:
y = 35 : 5
y = 7
Ответ: y = 7
Алгоритм действий
Рассмотрим алгоритм действий при решении уравнений:
- Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
- Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
- Избавиться от коэффициента при переменной если это необходимо.
- В итоге всех действий получить корень уравнения. Выполнить проверку.
Основные правила

Подведем итоги. Важно запомнить эти простые правила и научиться ими пользоваться.
- Если перед вами уравнение вида х + 38 = 49, то применяем следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое
х = 49 — 38 х = 11
- В решении уравнения вида х — 5 = 15, нам потребуется такое правило: чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое
х = 15 + 5 х = 20
- Решая уравнение вида 12 – х = 5, вспомните правило – чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность, следовательно
х = 12 — 5 х = 7
- Если решаем уравнение вида 2 ∙ х = 22, то помним, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель
х = 22 : 2 х = 11
- Если решаем уравнение вида \( \cfrac{х}{5} \) = 12, то применяем правило: чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель
х = 12 ∙ 5 х = 60
- Если решаем уравнение вида \( \cfrac{40}{x} \)= 8, то ищем делитель. Для этого надо делимое разделить на частное
х = 40 : 8 х = 5
- Если решаем уравнение вида 5y — 5 = 30, необходимо применить 2 правила: сначала найти уменьшаемое (5y), а затем вычислить неизвестный множитель (y).
- Если перед вами уравнение вида \( \cfrac{х}{7} \)+11=21, то также применяем 2 правила: сначала ищем неизвестное слагаемое \( \cfrac{х}{7} \), а затем ищем неизвестное делимое (x).
Самостоятельная работа
х +16 = 37 х : 15 = 3
30 + х = 54 2х — 16 = 72
х — 11 = 54 12 ∙ (х — 10) = 84
х — 38 = 12 (50 — х) + 11 = 32
10 ∙ х = 30 24 + 2∙х = 200
30 ∙ х = 120 \( \cfrac{х}{6} \) – 1 = 5
х : 2 = 50 \( \cfrac{х}{8} \)+2=10