Решение уравнений

Заголовок

Понятие уравнения

Равенство с неизвестным числом называется уравнением. Неизвестное число надо найти.

Неизвестные обозначаются строчными латинскими буквами. Чаще всего это x, y, z.

 

Примеры простейших уравнений:

— простые равенства:

x = 2, y = 5;

— с арифметическими действиями:

x + 5 = 26; y − 9 = 4; 2 · k = 16; 18 : z = 3;

— со скобками:

6 · (x − 2) = 18; (41 + x) − 12 = 83 и др.

Неизвестное может встречаться в уравнении несколько раз. Тогда такое уравнение будет называться уравнением с двумя неизвестными, с тремя неизвестными и т.д. по числу неизвестных.

Неизвестное может быть расположено не только в левой части уравнения, но и в правой, и даже в обоих частях одновременно.

x + 2 + 5 · x − 2 − x = 10

6 − 6 = k + 6

6 · x − 3 = 3 · (x + 10)

В других классах Вы познакомитесь уже со степенными, показательными и логарифмическими уравнениями.

Корень уравнения

Понятие

Иллюстрация @freepik с сайта www.freepik.com

Давайте разбираться что это такое. Например, нам дано уравнение с одним неизвестным или переменной.

Если подставить вместо переменной число, то уравнение станет числовым равенством.

Верным или неверным это будет ясно во время его решения.

Дано уравнение x + 2 = 5.

Заменим x на число 3, то равенство станет верным, а если на 2, то получится неверное равенство 2 + 2 = 5.

Конечно же нам нужны те значения, с которыми равенство будет верным.

Они называются корнями уравнения или решениями.

Корень уравнения – это значение переменной, с которым данное уравнение обращается в верное равенство.

Следовательно, корнем уравнения x + 2 = 5 будет число 3, либо x = 3

Когда уравнение корней не имеет

Может быть такое, что уравнение не имеет корней.

Например, 0 · y = 2.

Вместо y можем подставить много разных чисел, но ни одно из них не обратит это уравнение в верное равенство, так как умножение на 0 всегда будет 0.

Если в уравнении корней нет, то пишем: «уравнение корней не имеет».

Можно в этом случае указать знак пустого множества ∅.

Если корни есть и их несколько, то пишем их через запятую.

Несколько корней уравнения

Бывают такие уравнения, которые имеют несколько корней.

У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

В уравнении x − 6 = 10 только один корень – 16.

Уравнение x2 = 4 имеет два корня: ­­2 и -2.

В x · (x − 1) · (x − 2) = 0 три корня – 0, 1 и 2.

В уравнении y = y корней бесконечно много.

Допускается запись корней в виде простейших равенств.

Например, x = 2.

Решить уравнение, значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Разберем следующий пример:

Решите уравнение x-2=10

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 2, чтобы переменная x осталось в левой части, а известные (т.е. числа) в правой части. Получим: x = 12

Иначе говоря, мы -2 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +2, так как при переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Пример переноса числа

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 12.

12 — 2 = 10
Ответ: x = 12

Правило уменьшения уравнения в несколько раз

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от ненужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз.

Рассмотрим пример:
4x = 24

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа.

Но нам мешает коэффициент 4 который стоит перед переменной x.

Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между числом 5 и переменной x стоит умножение 4⋅х.

Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, то можно было бы перенести 4 вправо.

В данном случае мы можем все уравнение уменьшить в 4 раза или разделить на 4.

Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

4x = 24
4x : 4 = 24 : 4
4 : 4x = 6
1x = 6 или x = 6

Делаем проверку уравнения 4x = 24.

Вместо переменной x подставляем 6.
4 ⋅ 6 = 24
24 = 24

Мы получили верное равенство, корень уравнения найден правильно.
Ответ: x = 6.

Правило увеличения уравнения в несколько раз

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения \( \cfrac{х}{3} \)​ = 7

Решение:
В данном случае нам необходимо избавиться от тройки в знаменателе.

Для этого все уравнение увеличим в 3 раза или умножим на 3.

 

Обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

\( \cfrac{х}{3} \) = 7

3 ∙\( \cfrac{х}{3} \) = 7 ∙ 3

x = 21

Сделаем проверку уравнения.

Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21, тогда:

\( \cfrac{21}{3} \)​ = 7

7=7

Мы получили верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x = 21

Решение уравнений. Примеры

Разберем уравнение:

\( \cfrac{х}{5} \)​ – 1 = 8

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения. Тогда знак “-“ изменится на противоположный

\( \cfrac{х}{5} \)= 8 + 1

\( \cfrac{х}{5} \) = 9

Теперь нужно все уравнение умножим на 5, чтобы убрать из знаменателя 5.

5 ∙ ​\( \cfrac{х}{5} \) = 9 ∙ 5

x = 45

Выполним проверку.

Подставим в уравнение найденный корень.

\( ​\cfrac{45}{5} \)​ — 1 = 8

Рассмотрим еще одно похожее уравнение

\( ​\cfrac{х}{7} \)​ + 11 = 21

Чтобы найти неизвестную переменную, в такого вида уравнениях, как мы уже разобрали, надо применять два правила.

Выражение, стоящее в левой части — сумма двух слагаемых

\( ​\cfrac{х}{7} \)      +       11

1 сл.         2 сл.

Здесь переменная x является частью первого слагаемого. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое:

\( ​\cfrac{х}{7} \) = 21 — 11 (переносим 11 в правую часть уравнения, но с противоположным знаком)

\( ​\cfrac{х}{7} \) = 10

Получили простое уравнение 5 класса, из которого надо найти неизвестное делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель:

x = 10∙7

x = 70

Ответ: x = 70

Теперь разберем следующее уравнение

5y — 5 = 30

Правая часть уравнения представляет собой разность:

5y         —       5

уменьшаемое         вычитаемое

Переменная y является частью неизвестного уменьшаемого. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, к разности прибавить вычитаемое:

5y = 30 + 5 (переносим 5 в правую часть уравнения, знак “-“ меняем на противоположный)

5y = 35

Получили простое уравнение, в котором y — неизвестный множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель:

y = 35 : 5

y = 7

Ответ: y = 7

Алгоритм действий

Рассмотрим алгоритм действий при решении уравнений:

  1. Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
  2. Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
  3. Избавиться от коэффициента при переменной если это необходимо.
  4. В итоге всех действий получить корень уравнения. Выполнить проверку.

Основные правила

Иллюстрация @upklyak с сайта www.freepik.com

Подведем итоги. Важно запомнить эти простые правила и научиться ими пользоваться.

  1. Если перед вами уравнение вида х + 38 = 49, то применяем следующее правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое

х = 49 — 38      х = 11

  1. В решении уравнения вида х — 5 = 15, нам потребуется такое правило: чтобы найти уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое

х = 15 + 5       х = 20

  1. Решая уравнение вида 12 – х = 5, вспомните правило – чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность, следовательно

х = 12 — 5        х = 7

  1. Если решаем уравнение вида 2 ∙ х = 22, то помним, чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель

х = 22 : 2        х = 11

  1. Если решаем уравнение вида ​\( ​​\cfrac{х}{5} \)​ = 12, то применяем правило: чтобы найти делимое, надо частное умножить на делитель

х = 12 ∙ 5        х = 60

  1. Если решаем уравнение вида ​\( ​ ​\cfrac{40}{x} \)​= 8, то ищем делитель. Для этого надо делимое разделить на частное

х = 40 : 8        х = 5

  1. Если решаем уравнение вида 5y — 5 = 30, необходимо применить 2 правила: сначала найти уменьшаемое (5y), а затем вычислить неизвестный множитель (y).
  2. Если перед вами уравнение вида \( ​\cfrac{х}{7} \)+11=21, то также применяем 2 правила: сначала ищем неизвестное слагаемое\( ​\cfrac{х}{7} \)​, а затем ищем неизвестное делимое (x).

Самостоятельная работа

 

х +16 = 37                              х : 15 = 3

30 + х = 54                             2х — 16 = 72

х — 11 = 54                             12 ∙ (х — 10) = 84

х — 38 = 12                             (50 — х) + 11 = 32

10 ∙ х = 30                               24 + 2∙х = 200

30 ∙ х = 120                             \( ​\cfrac{х}{6} \)​ – 1 = 5

х : 2 = 50                                  \( ​\cfrac{х}{8} \)​+2=10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить