Модуль числа а — это расстояние от начала координат до точки А(a).
Давайте подставим вместо переменной a любое число, например 5.
В таком случае, модулем числа 5 будет расстояние от начала координат до точки А(5).
Это означает, что модуль это и есть обычное расстояние.
Посмотрим на числовую прямую.
Расстояние от начала координат до точки А(5) составляет 5 (пять единиц или пять шагов).
Обозначается модуль числа двумя вертикальными линиями, например: |5|
В примере мы искали модуль числа 5 и узнали, что он равен 5. Запишем это так:
|5| = 5
Произносится это следующим образом: Модуль числа пять равен пяти.
Давайте теперь найдем модуль числа −5.
В определение выше подставим число -5. Но используем новую точку — точку B.
Модулем числа −5 будет являться расстояние от начала координат до точки B(−5).
Расстояние между пунктами не может быть отрицательным. А модуль это тоже расстояние, следовательно, оно тоже не может быть отрицательным.
Модуль числа −5 равен 5. Расстояние от начала координат до точки B(−5) равно пяти единицам.
Снова обратимся к числовой прямой.
|−5| = 5
Произносится это так: Модуль числа минус пять равен пяти.
Давайте подумаем, чему же равен модуль числа 0? Он равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом координат.
То есть расстояние от начала координат до точки O(0) равно нулю.
Снова обратимся к числовой прямой.
|0| = 0
Модуль нуля равен нулю
Противоположные числа
Противоположные числа – это числа, отличающиеся знаками.
Например, числа −7 и 7 — противоположные. Различие у них только в знаках. У числа −7 знак минуса, а у числа 7 знак плюса, но его не записывают.
Примеры противоположных чисел:
−5 и 5
−9 и 9 и так далее
Запомните, что противоположные числа имеют равные модули. Например, найдём модули чисел −2 и 2
|−2| и |2|
2 = 2
Посмотрим на числовую прямую.
На нем видно, что расстояние от начала координат до точек A(−2) и B(2) одинаково равно двум шагам.
Свойства модуля
- Модуль числа не может быть отрицательным
- Модули противоположных чисел равны
- Для положительного числа и нуля модуль равен самому числу, а для отрицательного – противоположному
- Величина числа не превышает величину его модуля
- Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя, если знаменатель не равен нулю
- Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых
Примеры решения
Вычислим:
1.|10| — 4 = 10 — 4 = 6
2. | — 18| : 9 = 18 : 9 = 2
3. | — 35| + |11| = 35 + 11 = 46
4. |78| — | — 10| = 78 — 10 = 68
5. |x| + 5 = 10
|x| = 10 — 5
|x| = 5
Так как |- 5| = 5 и |5| = 5, то x = — 5 или x = 5
6. 12 — |x| = 4
|x| = 12 — 4
|x| = 8
Следовательно, x = — 4 или x = 4
Для закрепления темы можете посмотреть видео здесь
Самостоятельная работа
1. |50| — 14
2. | — 27| : 3
3. | — 48| + |15|
4. |56| — | — 15|
5. 14 — |x| = 2