Наименьшее общее кратное (НОК)

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел — это наименьшее из всех целых чисел, которое делится на оба числа без остатка.

Рассмотрим на примере чисел 18 и 4

НОК (18; 4) — ?

Разложим числа на простые множители. Как это сделать, Вы можете узнать здесь

Сначала запишем разложение на множители большего числа, а затем меньшего.

18 = 2 · 3 · 3

4 = 2 · 2

Выделим в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (в данном случае один множитель, и он выделен красным цветом) добавить к множителям большего числа и перемножить их:

НОК (18; 4) = 2 · 3 · 3 · 2 = 36

Алгоритм

Разложить оба числа на простые множители;
Выбрать группу множителей большего числа;
Добавить к ней множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
Найти их произведение.

Примеры решения

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

1. Найти НОК (16; 6) — ?

Раскладываем 16 и 6 на простые множители:

16 = 2 · 2 ∙ 2 ∙ 2

6 = 3 · 2

Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 ∙ 2 ∙ 2
Смотрим вторую группу (3 · 2) и видим, двойка присутствует в первом разложении, а тройка нет. Таким образом, берем только тройку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 2 · 2 ∙ 2 ∙ 3
Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 ∙ 2 ∙ 3 = 48 НОК (16; 6) = 48

2. Найти НОК (18; 30) — ?

Раскладываем 18 и 30 на простые множители:

18 = 2 · 3 · 3

Данное разложение у нас уже было чуть выше

30 = 2 · 3 · 5

Возьмем первую группу множителей: 2 · 3 · 3
Из второй группы разложения мы видим, что из двойки, тройки и пятерки, двойка и тройка присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 3 ∙ 5
Вычисляем произведение: 2 · 3 · 3 · 5 = 90 НОК (18; 30) = 90

Нахождение НОК 3 чисел

НОК (3; 4; 9) — ?

Разложим числа на простые множители.

9 = 3 ∙ 3

4 = 2 ∙ 2

3 = 3 (простое число)

Выделим в разложении меньших чисел множители, которые не вошли в разложение наибольшего числа.

Чтобы определить НОК, необходимо недостающие множители (эти множители выделены красным цветом) добавить к множителям большего числа и перемножить их:

НОК (3; 4; 9) = 3 · 3 · 2 · 2 = 36

Бывают случаи, когда нужно найти НОК не только для двузначных или трехзначных чисел, а, когда исходных чисел больше.

Свойства НОК

НОК чисел всегда не меньше, чем данные числа
НОК (а; а) = а
Если а делится нацело на b, то НОК (а; b) = а
НОК (а; 1) = а

Способы нахождения НОК

Один из способов мы уже разобрали. Он состоит в разложении чисел на простые множители, выборе множителей большего числа и добавления к ним тех множителей, которые не вошли в выбранную группу.

Есть еще один способ. Он больше применим к совсем небольшим числам.

Рассмотрим на примере чисел 3 и 6.

Найти НОК можно, поочередно умножая их на последовательность чисел: 1, 2, 3, 4 и так далее. Умножаем число 3, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.

Умножаем число 3, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.

Получаем: 3, 6, 9, 12, 15
Умножаем число 6, последовательно, на 1, 2, 3, 4, 5.
Получаем: 6, 12, 18, 24, 30
Как видно, НОК для чисел 3 и 6 будет равно 12

Для закрепления темы нахождения НОК Вы можете посмотреть виде тут