Для начала ознакомимся с основными понятиями темы «Разложение числа на простые множители».
Основные понятия
Множитель — это число, которое показывает, сколько раз нужно повторить слагаемым (например, 5 + 5 + 5 = 15) какое-нибудь число, чтобы получить произведение (5 ∙ 3 = 15)
Простое число — это число, которое делится только на само себя и на единицу.
Например, 2, 3, 5, 7 и т.д.
О простых и составных числах Вы можете почитать тут
Простых чисел бесконечное множество. Но запоминать их все не нужно, есть таблицы простых чисел от 1 до 100, от 1 до 1000.
Таблица простых чисел до 100
Разложить на простые множители означает представить число в виде произведения простых множителей.
Например:
18 = 3 ∙ 3 ∙ 2
72 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2
180 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5
560 = 7 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5
Чаще всего пользуются методом, который заключается в записывании множителей столбиком. Необходимо просто перебирать множители по порядку, начиная с 2, и делить на них число пока от него не остается единица.
Задачи
Давайте разберем несколько примеров, используя данный метод.
Задача 1
Разложим число 48 на простые множители:
Начинаем перебор простых множителей. 48 точно делится на 2, так как является четным: 48 : 2 = 24
Далее, 24 также делится на 2.
24 : 2 = 12
Число 12 также делится 2.
12 : 2 = 6
И число 6 тоже делится на 2.
6 : 2 = 3
Далее смотрим, 3 не делится на 2, а делится только на само себя и на 1, значит, это простое число.
Разложение прошло успешно.
48 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3
Задача 2
Разложим число 81 на простые множители:
81 не делится на 2, но делится на 3.
81 : 3 = 27
Число 27 также не делится на 2, так как оно нечетное.
27 : 3 = 9
Далее, 9 тоже делится на 3.
9 : 3 = 3
И, последнее, 3 также делится на 3.
3 : 3 = 1
И снова разложение прошло успешно.
81 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
Задача 3
Разложим число 260 на простые множители:
260 точно делится на 2, так как является четным числом.
260 : 2 = 130
130 также делится на 2
130 : 2 = 65
65 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4, но делится на 5.
65 : 5 = 13
13 просто число, так как делится только на само себя и на 1.
13 : 13 = 1
Разложение прошло успешно.
260 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 13
Задача 4
Разложим число 23 на простые множители.
Перебирая простые множители от 1 до 23, мы не найдем ни одного числа, кроме самого 23, которое бы делилось на него без остатка. Это означает, что число 23 простое и разложение провести невозможно.
23 = 23
Алгоритм разложения числа на множители
Итак, какой же алгоритм разложения числа на множители.
В первый столбик записываем исходное число.
Во второй столбик, напротив первого числа, записываем наименьший простой множитель, на который исходное число делится без остатка (начинаем по порядку ряда простых чисел: 2, 3, 5, 7 и т. д.)
В первый столбик записываем результат деления и снова ищем наименьший простой множитель.
Делаем это до тех пор, пока в левом столбике не окажется 1.
Степень в записи
Для упрощения записи произведение одинаковых множителей записывают, используя степень.
Степень — это число, которое показывает, сколько раз множитель был умножен сам на себя.
9 = 3 ∙ 3 = 32
16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24
100 = 10 ∙ 10 = 102
Признаки делимости
Для начала давайте вспомним: как определить, на что делится число? Рассмотрим таблицу признаков делимости. Эти признаки лучше запомнить!
|
Признак делимости на |
Правило |
Примеры |
|
2 |
Число четное, оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 | 10, 10482:
10 : 2 = 5; 10482 : 2 = 5241 |
|
3 |
Сумма цифр делится на 3 | 42, 201:
42 : 3 (сумма чисел 4 + 2 = 6), а 6 делится на 3, значит, 42 делится на 3; 201 : 3 (сумма чисел 2 + 1 = 3), а 3 делится на 3, значит, и 201 делится на 3 |
|
4 |
Последние две цифры либо нули, либо образуют число, которое делится на 4 | 200, 1016:
200 : 4 = 50; 1016( последние два числа 16, 16 делится на 4), значит, и 1016 : 4 = 254 |
|
5 |
Оканчивается на 0 или 5 | 10, 205:
10 : 5 = 2; 205 : 5 = 41; |
|
6 |
Делится на 2 и на 3 | 42: делится на 2, так как является четным;
делится на 3, так как сумма цифр 4 + 2 = 6 делится на 3 24: делится на 2, так как является четным; делится на 3, так как сумма цифр 2 + 4 = 6 делится на 3 |
|
7 |
Разность числа без последней цифры и удвоенной последней цифры делится на 7 | 392:
39 − (2 × 2) = 39 − 4 = 35; 35 делится на 7, значит, и 392 : 7 = 56 |
|
8 |
Последние три цифры либо нули, либо образуют число, которое делится на 8 | 15000 : 8 = 1875;
1640 : 8 = 205; |
|
9 |
Сумма цифр делится на 9 | 522 делится на 9, так как 5 + 2 + 2 = 9;
1782 делится на 9, так как 1 + 7 + 8 + 2 = 18 |
|
10 |
Оканчивается на 0 | 30 : 10 = 3;
24580 : 10 = 2458 |
Задачи
Задача 5
Разложим на множители число 5500
Так как число оканчивается на два нуля, оно точно делится на 100.
100 = 25 ∙ 4 = 5 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2
Число 55 делится на 5 (т. к. оно заканчивается на 5).
55 = 5 ∙ 11
Значит, 5500 = 55 ∙ 100 =
= 5 ∙ 11 ∙ 25 ∙ 4 = 5 ∙ 11 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 2
В каноническом виде 5500 = 53 ∙ 22 ∙ 11
Что такое канонический вид?
Это общепринятый стандартный вид записи.
То есть, записав итог решения в общепринятом виде, мы можем быть уверены на 100%, что нас поймут люди из разных стран, изучающие математику.
Задача 6
Разложим на множители число 424:
Оно оканчивается на число 24, которое, в свою очередь, делится на 4. Значит, и само число делится: 424 : 4 = 106.
Число 106 делится на 2, так как оно четное
106 : 2 = 53
53 – простое число, так как делится только на себя и на 1.
53 : 53 = 1
424 = 4 ∙ 2 ∙ 53 = 42 ∙ 2 ∙ 53
Задача 7
Разложим на множители число 360:
Число оканчивается на 0, а значит, делится на 10.
10 = 2 ∙ 5
36 делится на 2 и 3 (так как 36 – четное число и сумма чисел 3 + 6 делится на 3)
Разделим его на 3:
36 : 3 = 12
12 делится также на 2 и на 3. Выберем 3:
12 : 3 = 4
4 делится на 2
4 : 2 = 2
2 – простое число:
2 : 2 = 1
360 = 36 ∙ 10 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 10 = 32 ∙ 22 ∙ 10
Подведем итог.
Разложить составное число на простые множители означает представить его в виде произведения простых множителей.
Простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать в виде степени.
Итог лучше записывать в каноническом виде.
Разложим число 12 = 2 · 2 · 3
Запишем в каноническом виде: 12 = 22 · 3
Для закрепления темы можете посмотреть видео здесь
Самостоятельная работа
Разложите на простые множители числа: 48, 63, 82, 180, 1024, 3276.
