Сложение и вычитание дробей

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Для сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сложить или вычесть только их числители, а знаменатели оставить без изменения.

Давайте разберем на примерах:

\( \cfrac{5}{12} \) + \( \cfrac{1}{12} \) = \( \cfrac{5 + 1}{12} \) = \( \cfrac{6}{12} \), здесь мы можем сократить дробь на 6 и получим \( \cfrac{1}{2} \)
\( \cfrac{24}{7} \) – \( \cfrac{11}{7} \)= \( \cfrac{24 — 11}{7} \) = \( \cfrac{13}{7} \)

Все очень просто, складываем или вычитаем числительные, а знаменатель оставляем без изменений.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Дан пример: \( \cfrac{15}{4} \) + \( \cfrac{1}{5} \)

Сначала приведем дробь к общему знаменателю методом «крест-накрест», затем сложим результат. В итоге у нас получится неправильная дробь, поэтому выделим целую часть.

\( \cfrac{15}{4} \) + \( \cfrac{1}{5} \) = \( \cfrac{15*5}{4*5} \) + \( \cfrac{1*4}{5*4} \) = \( \cfrac{75}{20} \) + \( \cfrac{4}{20} \) = \( \cfrac{79}{20} \) = 3\( \cfrac{19}{20} \)

Разберем следующий пример: \( \cfrac{23}{8} \) — \( \cfrac{3}{4} \)

Сначала мы найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 8 и 4.

8 = 2 · 2 · 2

4 = 2 · 2

Следовательно, НОК (8; 4) = 2 · 2 · 2 = 8

Имея одинаковые знаменатели, легко посчитаем результат. У нас получится неправильная дробь, поэтому выделим целую часть.

\( \cfrac{23}{8} \) — \( \cfrac{3}{4} \) = \( \cfrac{23*1}{8*1} \) — \( \cfrac{3*2}{4*2} \) = \( \cfrac{23}{8} \) – \( \cfrac{6}{8} \) = \( \cfrac{23 — 6}{8} \) = \( \cfrac{17}{8} \) = 2\( \cfrac{1}{8} \)

Целая часть дроби

Что делать, если изначально нам дается пример сложения или вычитания дробей с целой частью?

Для этого есть простая схема:

Перевести дроби, содержащие целую часть, в неправильные;
Вычислить сумму или разность полученных дробей;
Выполнить обратное преобразование, т.е. избавиться от неправильной дроби, выделяя целую часть.

Как это сделать?

Для этого необходимо целую часть дроби умножить на знаменатель и прибавить числитель, а знаменатель оставить прежним.

Примеры

3\( \cfrac{6}{7} \) + 2\( \cfrac{5}{7} \) = \( \cfrac{3*7 + 6}{7} \) + \( \cfrac{2*7 + 5}{7} \) = \( \cfrac{27}{7} \) + \( \cfrac{19}{7} \) = \( \cfrac{27 + 19}{7} \) = \( \cfrac{46}{7} \) = 6\( \cfrac{4}{7} \)

3\( \cfrac{2}{5} \) – \( \cfrac{3}{5} \) = \( \cfrac{3*5 + 2}{5} \) – \( \cfrac{3}{5} \) = \( \cfrac{17}{5} \) – \( \cfrac{3}{5} \) = \( \cfrac{17 — 3}{5} \) = \( \cfrac{14}{5} \)= 2\( \cfrac{4}{5} \)

Алгоритм

Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом;
Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.