Сокращение дробей

Чтобы разобраться в теме сокращение дробей, обратимся сначала к его понятию

Понятие

Сократить дробь – значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, который больше 0 и не равен 1.

Тогда получится дробь с новыми числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

Рассмотрим пример:

Сократим дробь \( \cfrac{6}{18} \). Для этого разделим числитель и знаменатель на 2.

То есть, \( \cfrac{6:2}{18:2} \) = \( \cfrac{3}{9} \)

Мы сократили дробь \( \cfrac{6}{18} \) и получили дробь \( \cfrac{3}{9} \), равную исходной.

Приведение дроби к несократимой

Выше мы разобрали как сокращать дробь. Но можно заметить, что дробь 3/9 можно сократить еще раз. Итогом сокращения дробей является доведение ее до несократимого вида.

Для этого необходимо сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Это наибольшее число, на которое можно разделить числитель и знаменатель дроби. В таком случае, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь станет несократимой.

Например, приведем дробь \( \cfrac{6}{18} \) к несократимому виду.

Нам необходимо ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

Наибольший общий делитель чисел 6 и 18 равен 6.

\( \cfrac{6}{18} \) = \( \cfrac{6:6}{18:6} \) = \( \cfrac{1}{3} \)

Для чего сокращать дроби

Сокращение дробей необходимо для того, чтобы не работать с большими цифрами. В математике даже существует такое негласное правило: если можно упростить выражение, то это необходимо сделать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

Алгоритм сокращения дробей

Он состоит из 2 этапов:

Найти НОД числителя и знаменателя.
Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

Задачи

1. Сократим дробь \( \cfrac{35}{70} \) до несократимого вида.

Найдем НОД числителя и знаменателя. Это 35. То есть, числитель и знаменатель данной дроби делится на 35, то есть это число является наибольшим общим делителем.

\( \cfrac{35}{70} \) = \( \cfrac{35:35}{70:35} \) = \( \cfrac{1}{2} \)

2. Сократим дробь \( \cfrac{128}{368} \)

Найдем НОД числителя и знаменателя. Это 16.

Получаем:

\( \cfrac{128}{368} \) = \( \cfrac{128:16}{368:16} \) = \( \cfrac{8}{23} \)

Для закрепления Вы можете посмотреть видео