Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестную величину, обозначающуюся буквой.
Например:
x + 10 = 12 или 5a – 5 = 0
Решить уравнение, означает найти его корни или, наоборот, доказать, что их нет.
Свойства уравнений
Свойство 1
Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, которое имеет те же корни.
Например:
2x + 10 = 12
Прибавим -10 к обеим частям уравнения:
2x + 10 = 12 | + (-10)
2x + 10 + (-10) = 12 + (-10)
Получаем:
2x = 2
x = 1
Если мы прибавим любое другое число, то корень уравнения не изменится.
Давайте проверим. Пусть это будет число 2.
2x + 10 = 12 | + 2
Получаем:
2x + 10 + 2 = 12 + 2
2x + 12 = 14
Получаем:
2x = 14 – 12
2x = 2
x = 1
Корень не изменился.
Свойство 2
При перемещении слагаемых из одной части уравнения в другую, меняется их знак на противоположный, а корни уравнения не изменятся.
Например:
10x + 2 = — 8x – 7
В левую часть мы перенесем -8x, а в правую 2. Но при этом, у -8x поменяется знак на противоположный и станет 8x, а 2 перенесется в правую часть уравнения со знаком «-».
Получим:
10x + 8x = -7 – 2
18x = -9
X = -2
Или обратимся к предыдущему уравнению.
2x + 10 = 12
Здесь мы переносим 10 в правую часть уравнения с противоположным знаком. 2x остается в левой неизменно.
Получаем:
2x = 12 — 10
2x = 2
X = 1
Свойство 3
При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное 0, корни уравнения не изменятся.
Например:
2x + 10 = 12 | :2
Получим:
x + 5 = 6
x = 1
А теперь возьмем то же самое уравнение и умножим обе части уравнения на 2.
2x + 10 = 12 | ∙ 2
Получим:
4x + 20 = 24
Решаем далее:
4x = 24 – 20
4x = 4
x = 1
Как мы видим, корень не изменился.
Рассмотрим уравнение с дробными числами.
\( \cfrac{5}{9}x \) + 3 = \( \cfrac{1}{3}x \) + 5
Умножим на 9 обе части уравнения:
\( \cfrac{5}{9}x \) + 3 = \( \cfrac{1}{3}x \) + 5 | ∙9
5x + 27 = 3x + 45
Теперь воспользуемся свойством 2:
5x – 3x = 45 – 27
2x = 18
x = 9
Здесь мы используем свойство 3, чтобы освободиться от дробных чисел.
При решении мы выбираем какими свойствами уравнений пользоваться удобно, для упрощения задачи.
Самостоятельная работа
- \( \cfrac{2x + 5}{3} \) = 1
2. 4x — 8 = 20
3. 8 — 5x = 13 — 3x
4. 3(2x — 4) — 2(x + 3) = — 2 + 8x
5. \( \cfrac{1}{7} \) + 1 = \( \cfrac{2}{7} \) + 3
