Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Система линейных уравнений

Система уравнений — это условие, заключающееся в одновременном выполнении нескольких уравнений, относительно одной или нескольких переменных.

Для решения системы уравнений с двумя переменными необходимо определить значения пары переменных и при подстановке в каждое из уравнений получатся верные числовые неравенства.

 

Существует несколько способов решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными:

  • способ подстановки;
  • графический способ;
  • способ сложения;
  • способ введения новых переменных.

Рассмотрим метод подстановки и метод сложения.

Метод подстановки

Алгоритм решения:

  • выражаем одну переменную через другие;
  • подставляем выражение в начальные уравнения;
  • повторяем второй шаг до тех пор, пока не будут определены другие переменные

Разберем алгоритм на примере:

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

 

Выразим y из второго уравнения:

6х – y = 14

y = 6x — 14

Теперь выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:

5x + 2y = 23

5x + 2 ∙ (6x – 14) = 23

Найдем корни 5x + 2 ∙ (6x – 14) = 23

Для этого сначала раскроем скобки:

5x + 2 ∙ 6x – 2 ∙ 14 = 23

5x + 12x – 28 = 23

Неизвестные члены уравнения оставим в левой части, а известные перенесем в правую:

5x + 12x = 23 + 28

17x = 51

x = 51:17

x = 3

Теперь, когда мы нашли x, выполним подстановку и найдем y:

y = 6x – 14 = 6 ∙ 3 – 14 = 18 – 14 = 4

Получается, x = 3; y = 4

Метод сложения

 

При сложении левых частей уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств.

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

 

a + x = b + y

Но, в обратную сторону это свойство не работает

При решении системы уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число.

Сложим первое уравнение с числом x:

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

a + x = b + x

Так как x = y, можно выполнить замену x на y справа:

a + x = b + x → a + x = b + y

Разберем на примере:

 Система линейных уравнений с двумя неизвестными

 

Теперь суммируем уравнения.

В процессе левые части складываем друг с другом.

Затем правые части тоже складываем.

3x + y + 4x – y = 17 + 11

y мы можем сократить, тогда:

7x = 28

x = 4

Теперь вместо x подставим 4:

Система линейных уравнений с двумя неизвестными

Таким образом, x = 4; y = 5

Можем  выполнить проверку и подставить значения x и y в исходное уравнение.

Теперь рассмотрим следующий пример:

 

Если мы сразу же сложим левые части уравнения между собой и правые части, то в данном случае упростить не получится.

Тогда воспользуемся умножением уравнения на число, неравное 0.

Необходимо выбрать такое число, чтобы можно было бы избавиться от одной из переменных.

В данном примере умножим вторую часть на (-3):

Получим:

Теперь сложим:

3x + 4y – 3x — 9y = 18 + (-33)

Сократим 3x и (-3x):

4y – 9y = -15

-5y = -15

y = 3

Теперь подставим значение в первое равнение:

Таким образом, x = 2; y = 3

Видео по теме можете посмотреть тут

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Вставить формулу как
Блок
Строка
Дополнительные настройки
Цвет формулы
Цвет текста
#333333
Используйте LaTeX для набора формулы
Предпросмотр
\({}\)
Формула не набрана
Вставить