Система уравнений — это условие, заключающееся в одновременном выполнении нескольких уравнений, относительно одной или нескольких переменных.
Для решения системы уравнений с двумя переменными необходимо определить значения пары переменных и при подстановке в каждое из уравнений получатся верные числовые неравенства.
Существует несколько способов решения систем линейных уравнений с двумя неизвестными:
- способ подстановки;
- графический способ;
- способ сложения;
- способ введения новых переменных.
Рассмотрим метод подстановки и метод сложения.
Метод подстановки
Алгоритм решения:
- выражаем одну переменную через другие;
- подставляем выражение в начальные уравнения;
- повторяем второй шаг до тех пор, пока не будут определены другие переменные
Разберем алгоритм на примере:
Выразим y из второго уравнения:
6х – y = 14
y = 6x — 14
Теперь выполним подстановку полученного выражения в первое равенство:
5x + 2y = 23
5x + 2 ∙ (6x – 14) = 23
Найдем корни 5x + 2 ∙ (6x – 14) = 23
Для этого сначала раскроем скобки:
5x + 2 ∙ 6x – 2 ∙ 14 = 23
5x + 12x – 28 = 23
Неизвестные члены уравнения оставим в левой части, а известные перенесем в правую:
5x + 12x = 23 + 28
17x = 51
x = 51:17
x = 3
Теперь, когда мы нашли x, выполним подстановку и найдем y:
y = 6x – 14 = 6 ∙ 3 – 14 = 18 – 14 = 4
Получается, x = 3; y = 4
Метод сложения
При сложении левых частей уравнений выражение, полученное в результате, равно сложенным правым частям этих же равенств.
a + x = b + y
Но, в обратную сторону это свойство не работает
При решении системы уравнений можно увеличивать обе части уравнения на одинаковое число.
Сложим первое уравнение с числом x:
a + x = b + x
Так как x = y, можно выполнить замену x на y справа:
a + x = b + x → a + x = b + y
Разберем на примере:
Теперь суммируем уравнения.
В процессе левые части складываем друг с другом.
Затем правые части тоже складываем.
3x + y + 4x – y = 17 + 11
y мы можем сократить, тогда:
7x = 28
x = 4
Теперь вместо x подставим 4:
Таким образом, x = 4; y = 5
Можем выполнить проверку и подставить значения x и y в исходное уравнение.
Теперь рассмотрим следующий пример:
Если мы сразу же сложим левые части уравнения между собой и правые части, то в данном случае упростить не получится.
Тогда воспользуемся умножением уравнения на число, неравное 0.
Необходимо выбрать такое число, чтобы можно было бы избавиться от одной из переменных.
В данном примере умножим вторую часть на (-3):
Получим:
Теперь сложим:
3x + 4y – 3x — 9y = 18 + (-33)
Сократим 3x и (-3x):
4y – 9y = -15
-5y = -15
y = 3
Теперь подставим значение в первое равнение:
Таким образом, x = 2; y = 3
Видео по теме можете посмотреть тут