Сумма кубов и разность кубов

Сумма кубов a³ + b³ и разность кубов a³ − b³ представлены в формулах. Но сначала обратимся к следующим выражениям.

Выражения вида:  a² – ab + b²   и   a² + ab + b² называют неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы, так как квадрат разности и квадрат суммы:
a² − 2ab + b²  и   a² + 2ab + b²   

Сумма кубов

Формула суммы кубов:

 (a + b) (a² – ab + b²)  =  a³ + b³           (1)

При любых значениях a и b равенство будет верно:

                           (a + b) (a² – ab + b²)  =   

= a³ + a²b – a²b – ab² + ab² + b³ = a³ + b³ 

Равенство (1) является тождеством, так как верно при любых значениях a и b.

Если вместо a и b подставить другие выражения, например 4x и y², 
то также получится тождество:   

(4x + y²) (16x² − 4xy² + y⁴)   =  64x³ – 16x²y² + 4xy⁴ + 16x²y² – 4xy⁴ + y⁶ =  64x³ + y⁶

Формула суммы кубов читается так: произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Разность кубов

Формула разности кубов:  

(a − b) (a² + ab + b²)   =   a³ − b³                                   (2)   

При любых значениях a и b равенство будет верно:

(a − b) (a² + ab + b²)   = a³ – a²b + a²b – ab² + ab² – b³ = a³ – b³

Равенство (1) является тождеством, так как верно при любых значениях a и b.

Если вместо a и b подставить другие выражения, например 4x и y², 
то также получится тождество:

(4x — y²) (16x² + 4xy² + y⁴)   =   8x³ – y⁶

Формула разности кубов читается так: произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Видео по теме можно посмотреть тут