Тождества

Чтобы разобраться в теме Тождества, давайте сначала рассмотрим два равенства:

a¹² ∙ a³ = a⁷ ∙ a⁸

Это равенство будет выполняться при любых значениях переменной а.

Областью допустимых значений (ОДЗ) для этого равенства будет все множество вещественных чисел.

a¹² : a³ = a² ∙ a⁷

Это неравенство будет выполняться для всех значений переменной а, кроме а = 0.

ОДЗ для этого равенства будет все множество вещественных чисел, кроме 0.

Такие равенства называются тождествами.

Понятие тождества

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях переменных.

Тождествами, например, будут являться свойства действий над числами.

1. a + b = b + a
2. a + (b + c) = (a + b) + c
3. a ∙ b = b ∙ a
4. a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
5. a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
6. a + 0 = a
7. a ∙ 0 = 0
8. a ∙ 1 = a
9. a ∙ (-1) = — a

Если два выражения при любых допустимых переменных соответственно равны, то такие выражения называют тождественно равными.

Например:

(a²)⁴ и a⁸

Всегда можно заменить одно выражение любым другим, тождественно равным первому.

Такая замена будет являться тождественным преобразованием.

Примеры тождеств

Являются ли тождествами следующие равенства:

1. a + 5 = 5 + a
2. a ∙ (-b) = -a ∙ b
3. 3 ∙ a ∙ 3 ∙b = 9 ∙ a ∙ b
4. a — b = b — a

Не все представленные равенства будут являться тождествами.

Из них тождествами являются только 1, 2 и 3 равенства.

Какие бы числа в них не подставить, вместо переменных а и b все равно получатся верные числовые равенства.

Четвертое равенство уже не является тождеством, так как не при всех допустимых значениях это равенство будет выполняться.

Например, при значениях a = 3 и b = 2 получится следующий результат:

3 — 2 = 2 — 3

1 = — 1

Данное равенство не верно, так как число 1 не равняется числу -1

Видео по теме тут