Арифметический квадратный корень числа a — это число b, которое при возведении в степень 2 дает число a.
Например:
так как 5² = 25
Обозначается корень так: \( \sqrt{} \)
Знак корня называют радикалом или знаком арифметического квадратного корня.
Само выражение под знаком корня называется подкоренным выражением.
Арифметический квадратный корень из любого числа можно записать так:
или
2 над знаком корня не принято записывать, так как 2 является самой маленькой степенью.
Если над знаком корня число отсутствует, то подразумевается показатель 2.
Свойства
- Корень из произведения двух и более чисел равен произведению корней этих чисел:
- Корень из частного двух чисел равен частному их корней:
а >= 0, b > 0.
- Квадратный корень числа а, возведенный в степень b, равен квадратному корню из аb:
a >=0
- Корень из квадрата любого, в том числе отрицательного числа, равен модулю этого числа:
Алгоритм
Чтобы вычислить квадратный корень числа чаще всего используется метод разложения на простые множители.
Например, надо извлечь корень из числа 576:
Сначала мы раскладываем число 576 на квадратные множители: это 16 и 36.
Корень из 16 это 4, а корень из 36 = 6
Перемножая 4 на 6 получаем 24.
Получился такой алгоритм:
- Извлечение корня из каждого квадратного множителя;
- Произведение полученных результатов;
- Запись ответа
Случай, когда число неделимое
Если попадется неделимое число, которое не раскладывается на квадратные множители, то ответ получится не целый, а дробный и приблизительный.
Например, необходимо извлечь корень из числа 75:
То есть мы разложили 75 на множители 25 и 3.
25 – это квадратное число, корень которого можно извлечь и будет 5.
Корень из 3 не извлекается, остается в таком же виде.
В ответе получается
Квадратные числа
Примеры квадратных чисел или полного квадрата:
9 = 32 = 3 ∙ 3
16 = 42 = 4 ∙ 4
25 = 52 = 5 ∙ 5
36 = 62 = 6 ∙ 6 и т.д.
Разберем несколько примеров.
Задача 1
Необходимо извлечь квадратный корень
Решение:
Квадратный корень из 81 — это число, которое в квадрате дает 81.
92 = 81
Ответ:
Задача 2
Необходимо извлечь квадратный корень
Решение:
Находим число, которое в квадрате дает 64.
82 = 64
Ответ:
Задача 3
Определить значение выражения
Решение:
Здесь записано произведение числа 2
и выражения под корнем:
.
Сначала найдем:
Затем умножим полученный результат на 2.
Ответ: 6
Задача 4
Решение:
Сначала избавимся от знака корня.
Для этого необходимо возвести в квадрат правую часть.
Получаем уравнение:
Решим это уравнение:
2x = 36 – 4
2x = 32
x = 32 : 2
x = 16
Можно выполнить проверку и вместо x поставить полученное значение.
Таким образом,
равенство выполняется при x = 16
Ответ: x = 16
Задача 5
Сравните выражения:
и
Решение:
Сначала преобразуем выражение :
Теперь сравним подкоренные выражения:
40 < 48
Значит:
Ответ:
Задача 6
Вынесите множитель из-под знака корня в выражении:
Решение:
Здесь необходимо разложить подкоренное выражение на множители:
32 = 16 ∙ 2
Ответ:
Задача 7
Решите выражение:
Решение:
Ответ: 60
Видео по теме тут