Дробно-рациональное уравнение

Прежде чем разобрать дробно-рациональное уравнение, вспомним, что такое рациональные выражения.

Рациональные выражения — это выражения, в которые включены числа, переменные, арифметические действия и операции возведения в степень.

Если два рациональных выражения объединены знаком равенства, то это рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение

Дробно-рациональное уравнение — это рациональное уравнение, обе части которого записаны в виде дробных выражений.

В дробно-рациональном уравнении хоть одна дробь содержит переменную в знаменателе.

Например:

​\( \cfrac{5x^2 – 1}{2x} \)​ = 0

​\( \cfrac{1}{3x}+ \cfrac {x}{x+2} \)​ = ​\( \cfrac{2}{3} \)​

К дробно-рациональным выражениям не относятся:

2x² – 1 = 0

​\( \cfrac {x}{2} \)​ + 4x = 2

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

Алгоритм:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ)
2. Вычислим общий знаменатель дробей
3. Найдем произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя и  сократим полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей
4. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые
5. Найдем корни уравнения
6. Сверим найденные корни с ОДЗ и запишем ответ

Пример

Разберем пример:

Найти корни дробно-рационального уравнения:

​\( \cfrac{x-3}{x} \)​ – ​\( \cfrac{5 + 1}{x} \)​ = ​\( \cfrac{x+5}{x(x – 5)} \)​

Решение:

Определим ОДЗ:

x ≠ 0

x – 5 ≠ 0, x ≠ 5

Общим знаменателем здесь будет выражение:

x(x — 5)

Тогда:

x(x — 3) +1(x — 5) — x — 5 = 0

Раскроем скобки:

x² — 3x + x — 5 — x — 5 = 0

Приведем подобные:

x² — 3x — 10 = 0

Найдем корни квадратного уравнения:

D = b²— 4ac = (-3)² — 4∙1 ∙ (-10) = 9 + 40 = 49

√D = 7

x1 = ​\( \cfrac{-b + √D}{2a} \)​= ​\( \cfrac{3+7}{2} \)​ = 5

x2 =​\( \cfrac{-b — √D}{2a} \)​= ​\( \cfrac{3-7}{2} \)​ = -2

Сравним результат с ОДЗ.

Так как x ≠ 5, то исключим первый корень. В ответе запишем:

Ответ: x = -2

Видео по теме тут