График квадратного уравнения вида ax2 + bx + c представляет собой параболу, то есть U-образную кривую.
Для построения графика необходимо найти вершину этой параболы, ее направление и точки пересечения с осями Х и Y.
Парабола, ветви вверх
Разберем на примере:
Квадратное уравнение x2 + 2x – 3 = 0
- Коэффициент a = 1 > 0, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
- Сначала найдем координаты вершины параболы:
x0 = \( \cfrac{-b}{2a} \) = \( \cfrac{-2}{2 * 1} \)= -1
y0 или y(x) = (-1)2 + 2 ∙ (-1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4
Точка вершины параболы (-1; -4)
3. Ось симметрии: x = -1
4. Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат.
Для этого составим таблицу.
В таблицу занесем значения x = -1 и y = — 4
Далее присвоим x следующие значения: 0, 1 и 2.
Посчитаем y и внесем полученные значения в таблицу.
x = 0
y = (0)2 + 2 ∙ (0) – 3 = -3
x = 1
y = (1)2 + 2 ∙ (1) – 3 = 0
x = 2
y = (2)2 + 2 ∙ (2) – 3 = 5
x | -1 | 0 | 1 | 2 |
y | -4 | -3 | 0 | 5 |
Далее, рассмотрим случай, когда ветви параболы направлены вниз.
Парабола, ветви вниз
Построим график квадратного уравнения:
-2x2 + 8x – 3 = 0
- Ветви параболы направлены вниз, так как а = -2 < 0
- Найдем координаты вершины параболы:
x0 = \( \cfrac{-b}{2a} \) = \( \cfrac{-8}{2 * (-2)} \) = 2
Тогда y0 = -2 ∙ 22 + 8 ∙ 2 – 3 = -8 + 16 – 3 = 5
3. Ось симметрии: x = 2
4. Найдем координаты точек пересечения графика с осями координат.
Для этого составим таблицу.
Занесем в нее значения x0 = 2 и y0 = 5
Далее присвоим x следующие значения: 0, 1, 3 и 4.
Посчитаем y и внесем полученные значения в таблицу.
x = 0
y = -2 ∙ 02 + 8 ∙ 0 – 3 = -3
x = 1
y = -2 ∙ 12 + 8 ∙ 1 – 3 = 3
x = 3
y = -2 ∙ 22 + 8 ∙ 2 – 3 = 5
x | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | -3 | 3 | 5 | 5 |