Квадратное уравнение — это уравнение вида ax²+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, a ≠ 0.
Квадратные уравнения бывают приведенными и неприведенными.
Приведенное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1 (а = 1).
Пример:
x2 — 5x + 6 =0
Здесь а = 1, b = -5, c = 6
Неприведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором первый коэффициент отличен от 1.
Пример:
3x2 – 7x + 3 = 0
Полное и неполное квадратное уравнение
Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, все коэффициенты которого отличны от нуля.
Например:
2x2 + 5x — 7 = 0
Здесь а = 2, b = 5, c = -7
Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, хотя бы один коэффициент которого равен нулю.
Например:
c = 0:
3x2 – 2x = 0
b = 0:
5x2 + 125 = 0
Решение квадратных уравнений
Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни, либо установить, что корней нет.
Два самых распространённых способа решения квадратных уравнений:
- с помощью формулы корней,
- с помощью теоремы Виета.
Формулы корней
Для нахождения корней квадратного уравнения, необходимо вычислить дискриминант.
Он вычисляется по формуле:
D = b² – 4ac
После его нахождения корни квадратного уравнения рассчитываются по формуле:
x1 = \( \cfrac{-b + √D}{2a} \)
x2 = —\( \cfrac{-b + √D}{2a} \)
При D > 0, уравнение имеет два корня; при D = 0, один корень, он находится по формуле: x = \( \cfrac{- b}{2a} \)
при D ˂ 0, уравнение корней не имеет
Разберем на примере:
Дано квадратное уравнение x2 – 4x + 3 = 0. Решим его.
Сначала найдем дискриминант D:
D = b2 – 4 ac = (-4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 3 = 16 – 12 = 4
D > 0, значит корня в нашем квадратном уравнении два.
Найдем их:
x1 = \( \cfrac{-b + √D}{2a} \) = \( \cfrac{- (-4) + √4}{2 * 1} \) = \( \cfrac{4 + 2}{2} \) = 3
x2 = —\( \cfrac{-b + √D}{2a} \) =\( \cfrac{- (-4) — √4}{2 * 1} \) = \( \cfrac{4 – 2}{2} \) = 1
Ответ: x1 = 3, x2 = 1
Рассмотри случай, когда D = 0:
9x2 + 6x + 1 = 0. Решим его.
Сначала найдем дискриминант D:
D = b2 – 4 ac = (6)2 – 4 ∙ 9 ∙ 1 = 36 – 36 = 0
D = 0
Следовательно, уравнение имеет 1 корень.
Найдем его по формуле:
x = \( \cfrac{-b}{2a} \) = \( \cfrac{-6}{2 * 9} \) = \( \cfrac{-6}{18} \) = \( -\cfrac{1}{3} \)
Ответ: x = -\( \cfrac{1}{3} \)
Рассмотрим случай, когда D < 0.
Дано квадратное уравнение x2 – 2x + 3 = 0. Решим его.
D = b2 – 4 ac = (-2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 3 = 4 – 4 ∙ 3 = 4 – 12 = -8
D < 0
Ответ: Данное уравнение корней не имеет.
Теперь рассмотрим второй способ нахождения корней квадратного уравнения (теорема Виета).
Теорема Виета
Обычно теорема Виета используется для решения приведённых квадратных уравнений: x2 + px + q= 0
коэффициент (a = 1)
По теореме Виета свойства корней квадратного уравнения:
- x1 ⋅ x2= q
- x1 + x2 = − p
Разберем на примере:
x2 + 4x – 21 = 0
Решение:
В этом квадратном уравнении коэффициент a = 1, значит оно приведенное.
Мы можем использовать теорему Виета.
Коэффициент p = 4
Коэффициент q = -21
По т. Виета:
x1 ⋅ x2= q
x1 + x2 = − p
В данном случае, x1 ⋅ x2 = — 21; x1 + x2 = — 4
Далее, методом подбора, найдем корни.
Удобнее всего начинать с x1 ⋅ x2
— 21 можно получить, перемножив числа: -3 и 7
-3 ∙ 7 = — 21, подходит.
Теперь, исходя из этого, вычислим x1 + x2
-3 + 7 = 4, не подходит, так как x1 + x2 = − p = — 4.
Попробуем взять числа 3 и -7, тогда:
x1 ⋅ x2 = 3 ∙ (-7) = -21, подходит
x1 + x2 = 3 + (-7) = -4, подходит
Ответ: x1 = 3, x2 = -7
Разберем решение неполных квадратных уравнений.
Решение неполных квадратных уравнений
- Неполное квадратное уравнение вида: ax2 + c = 0
x2 =\( \cfrac{-c}{a} \)
x2 = \( — \sqrt{\frac{-c}{a}} \)
Разберем пример:
-3x2 + 75 = 0
Решение:
x2 = \( \cfrac{-75}{-3} \) = 25 > 0
x1 = √25 = 5
x2 = — √25 = -5
Ответ: x1 = 5, x2 = -5
- Неполное квадратное уравнение вида: ax2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
x = 0 или x =\( \cfrac{-b}{a} \)
Разберем пример:
4x2 + 12x = 0
Решение:
x(4x +12) = 0
x = 0 или 4x + 12 = 0
4x = -12
x = -12 : 4
x = -3
Ответ: x1 = 0, x2 = -3
- Неполное квадратное уравнение вида: ax2 = 0
x2 = 0
x = 0
Пример:
5x2 = 0
Решение:
x2 = 0 : 5
x = 0
Ответ: x = 0
Видео о квадратных уравнениях тут
О решении квадратных уравнений тут
Видео по теореме Виета тут
О применении теоремы Виета тут
