Линейные неравенства — это неравенства вида:
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0
Здесь a и b – произвольные числа, а ≠ 0
Решить линейное неравенство, значит найти все значения переменной x.
Примеры
Разберем пример:
x + 5 > 10
Решение:
Перенесем число 5 в правую часть неравенства с противоположным знаком:
x > 10 – 5
x > 5
Таким образом, линейное неравенство решается, как линейное уравнение, только вместо знака « = » стоит знак неравенства, в данном случае « > ».
Изобразим ответ графически:
Запишем ответ:
Ответ: x ϵ (5; + ∞)
Разберем следующий пример:
3x + 5 < x + 2
Решение:
Сначала перенесем x из правой части в левую с противоположным знаком:
3x + 5 — x < 2
Затем перенесем число 5 из левой части неравенства в правую часть с противоположным знаком:
3x – x < 2 – 5
Приведем подобные слагаемые:
2x < -3
Найдем x:
x < \( \cfrac{-3}{2} \)
x < -1,5
Изобразим ответ графически:
Запишем ответ:
Ответ: x ϵ (- ∞; -1,5).
Теперь рассмотрим другой пример:
5x > 55
Решение:
Поделим обе части неравенства на число 5:
\( \cfrac{5x}{5} \) > \( \cfrac{55}{5} \)
x > 11
Ответ: x ϵ (11; + ∞).
Таким образом, разобрав несколько примеров, можно выделить правила решения неравенств.
Правила
- Допускается перенести в другую часть неравенства какой-либо член неравенства при условии изменения знака на противоположный
- Все части неравенства можно умножать или разделить на одинаковое число, которое > 0. Результат данного неравенства будет равносилен исходному неравенству.
- При умножении или делении обеих частей неравенства на число, которое < 0, знак неравенства меняется на противоположный: > на знак <, ≥ на знак ≤, и наоборот.
Свойства
- При a > b и b > c означает, что a > c. Например, 7 > 3 и 3 > 2, что означает 7 > 2
- При a > b и k > 0, получим, что ak > bk. В том случае, если a > b и k < 0, то ak < bk
- При a > b и c > d получим, что a + c > b + d. Например, 7 > 3 и 2 > 1, тогда 7 + 2 > 3 + 1
- При значениях a, b, c, d > 0 и a > b, c > d получим, что ac > bd. Например, 7 > 3 и 2 > 1, тогда 7 ∙ 2 > 3 ∙ 1
Запомните:
Когда знак неравенства строгий « > » или « < », то на числовой прямой точка должна быть незакрашенная, а скобки круглые.
Если знак неравенства нестрогий « ≥ » или « ≤ », то на числовой прямой точка — закрашена, а скобка квадратная.
Система неравенств
В завершении темы, разберем решение системы неравенств.
Рассмотрим пример:
Решение:
Мы оставили все неизвестные в левой части.
10 и 22 перенесли в правую часть с противоположными знаками.
Нашли значения x.
Перенесем точечные множества на координатную прямую и получим ответ:
Ответ: x ϵ [2; 11)
Видео по теме: тык
