Модуль числа

Модуль числа — это абсолютная величина данного числа без учета его знака.

Он обозначается двумя вертикальными линиями: | a |

Формально, для любого действительного числа a модуль определяется следующим образом:

​

Иначе говоря, если число положительное или ноль, то его модуль равен самому числу.

Если число отрицательное, то модуль будет противоположным ему числом, то есть положительным.

Рассмотрим примеры:

| 5 | = 5

| — 3 | = -(- 3) = 3

| 0 | = 0

Геометрический смысл модуля

Геометрически модуль числа можно представить как расстояние от данной точки на числовой оси до начала координат (точки 0).

На графике это выглядит так:

Здесь видно, что модуль числа 5 равен 5, потому что точка 5 находится на расстоянии 5 единиц вправо от нуля.

Аналогично, модуль числа -3 также равен 3, поскольку точка -3 расположена на расстоянии 3 единицы влево от нуля.

Нахождение модуля при решении задач

Давайте рассмотрим примеры применения модуля при решении математических задач.

Задача 1

Найдите значение выражения ∣x∣ при x = −7

Решение:

Поскольку x отрицательно (x = −7), то модуль числа будет равен противоположному значению, то есть ∣−7∣ = −(−7) = 7

Ответ: 7

Задача 2

Решите уравнение ∣x + 2∣ = 3

Решение:

Это уравнение говорит нам, что расстояние от точки x + 2 до нуля равно 3.

Следовательно, возможны два варианта:

1. x + 2 = 3

Отсюда x = 3 − 2 = 1

2. −(x + 2) = 3

Тогда x + 2 = −3, откуда x = −3 − 2 = −5

Проверим оба значения:

• При x = 1 получаем ∣1 + 2∣ = ∣3∣
• При x = −5 получаем ∣−5 + 2∣ = ∣−3∣ = 3

Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: x1 = 1, x2 = −5

Задача 3

Вычислите значение выражения: ∣5 − 7∣ + ∣2 − 9∣

Решение:

Сначала вычисляем каждый модуль отдельно:

• ∣5 − 7∣ = ∣−2∣ = 2,
• ∣2 − 9∣ = ∣−7∣ = 7.

Затем складываем полученные значения:

2 + 7 = 9

Ответ: 9

Задача 4

Решите уравнение: ∣2x − 1∣ = 5

Решение:

У нас снова две возможности:

1. 2x − 1 = 5

Решаем это уравнение: 2x = 5 + 1 = 6, откуда x = ​\( \cfrac{6}{2} \)​ = 3

2. −(2x − 1) = 5

Преобразуем уравнение: −2x + 1 = 5, откуда −2x = 5 − 1 = 4, а значит x = ​\( -\cfrac{4}{2} \)​= −2

Проверяем оба значения в исходном уравнении:

• Для x = 3:    ∣2 ∗ 3 −1∣ = ∣5∣ = 5,
• Для x = −2:  ∣−2 ∗ 2 − 1∣ = ∣−5∣ = 5.

Оба результата корректны.

Ответ: x1 = 3, x2 = −2