Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений — это упрощение.

Но сначала разберем следующие понятия.

Обыкновенные дроби

Правильная обыкновенная дробь – это дробь, в которой числитель меньше знаменателя.

Например:

\( \cfrac{1}{4} \)

\( \cfrac{7}{9} \)

Неправильная обыкновенная дробь – это дробь, в которой числитель больше знаменателя.

Например:

\( \cfrac{9}{7} \)

\( \cfrac{13}{7} \)

Смешанная обыкновенная дробь — это дробь, в которой есть целая и дробная части.

Например:

\( 1\cfrac{5}{7} \)

Чтобы дробь перевести в неправильную, необходимо выполнить следующие действия:

знаменатель смешанной дроби умножить на целое значение;
полученный результат сложить с числителем;
полученное число записать на место числителя, а знаменатель оставить прежний

Разберем на примере:

Дана смешанная дробь \( 1\cfrac{5}{7} \).

Переведем ее в неправильную дробь.

Для этого сначала умножим знаменатель этой дроби на целую часть: 7 ∙ 1 = 7

Далее, полученный результат сложим с числителем: 7 + 5 = 12

И последнее: 12 запишем на место числителя, а знаменатель оставим прежний, т.е. 7.

Либо все действия в одном: 7 ∙ 1 + 5 = \( \cfrac {12}{7} \)

Получим неправильную дробь: \( \cfrac{12}{7} \)

Неправильную дробь можно обратно перевести в смешанную.

Для этого необходимо:

разделить в столбик числитель на знаменатель до получения остатка;
полученное в результате число записать, как целую часть дроби;
остаток записать на месте числителя дроби;
знаменатель оставить прежний.

Разберем на примере:

Переведем неправильную дробь \( \cfrac{13}{6} \) в смешанную:

При делении 13 на 6 получим целое число 2, а 1 в остатке.

Следовательно, получим дробь: \( 2\cfrac{1}{6} \)

Десятичная дробь

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10.

Например:

\( \cfrac{7}{100} \) = 0,07

\( \cfrac{5}{10} \) = 0,5

Если необходимо выполнить сложение или вычитание десятичных дробей, проще записать операции в столбик, но так, чтобы запятая одной дроби была под запятой другой.

Например:

0,5 + 0,3 = 0,8

0,55 + 0,23 = 0,78

При умножении десятичных дробей произведение находят не учитывая запятую, а после получения результата, отсчитать с конца столько знаков, сколько после запятой в обоих множителях.

Разберем на примере:

0,5 · 22,5

5 · 225 = 1125

Теперь, отделим три знака:

1,125

Если необходимо выполнить деление десятичных дробей, то существует следующий алгоритм:

приведем дробь к обыкновенному виду: 0,5 = \( \cfrac{5}{10} \)
Переворачиваем вторую дробь и выполняем умножение первой дроби на перевернутую.
Результат лучше записать в виде десятичной дроби.

Например:

Необходимо разделить \( \cfrac{2}{5} \) : 0,5

Сначала 0,5 приведем к обыкновенному виду: \( \cfrac{5}{10} \).

Затем, найдем произведение, предварительно перевернув вторую дробь:

\( \cfrac{2}{5} \) ∙ \( \cfrac{10}{5} \) = \( \cfrac{2}{1} \) ∙ \( \cfrac{2}{5} \) = \( \cfrac{4}{5} \)

После переворачивания второй дроби представилась возможность сократить знаменатель первой дроби: 5 и числитель второй дроби: 10 на 5.

Поэтому в знаменателе первой дроби получился 1, а в числителе второй — 2.

Ответ: 4,5

Рациональные выражения

Рациональные выражения — целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, которые соединены между собой знаками алгебраических операций.

Например:

5xy

2x² + 5y + c³

4b –\( \frac {c}{3} \)

Рациональное выражение, содержащее исключительно действия умножения, включая операции возведения в степень, является одночленом.

Например:

3x³yz²

3 – это коэффициент, а x³yz² – буквенная часть

Многочлен состоит из нескольких одночленов, соединяющиеся с помощью знаков сложения и вычитания.

Например:

3a² – 2ab + 4y³

Рациональные выражения можно упрощать, приводя подобные слагаемые.

Например:

3x²y – 2xy² – 4x²y + 8xy²

Перед нами многочлен, в состав которого входят подобные слагаемые:

3x²y — 4x²y

– 2xy² и 8xy²

Выполним сложение подобных слагаемых:

3x²y — 4x²y = — x²y

– 2xy² + 8xy² = 6xy²

Ответ: x²y + 6xy²

При умножении или делении многочлена на одночлен каждый из членов многочлена умножают или делят на одночлен.

После результаты складывают.

При умножении многочлена на многочлен каждый из членов первого многочлена, умножают на каждый из членов второго многочлена.

Полученные произведения складывают.

Разберем на примере:

(2ab² – 5 ab²)(3a² + 4a²b)

Сначала перемножим: 2ab² на 3a² и на 4a²b, а затем: – 5 ab² на 3a² и на 4a²b.

Получим:

6a³b² + 8a³b³ – 15a³b² — 20a³b³

Приведем подобные слагаемые (6a³b² – 15a³b² и 8a³b³ — 20a³b³):

-9a³b²— 12a³b³

Часто встречаются скобки, от которых необходимо избавиться.

Важно помнить, если перед скобкой стоит знак « — », то раскрывая ее, слагаемые записываются с противоположным знаком.

Преобразование рациональных выражений

Зная формулы сокращенного умножения, следует ими воспользоваться.

Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Куб суммы: .
Куб разности:.
Сумма кубов: .
Разность кубов:

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение нескольких множителей.

Одним из способов разложения многочленов на множители, является вынесение общего множителя за скобки.

Разберем на примере:

Дан многочлен, который необходимо разложить на множители 15x³y – 10x²y² + 5x

Общим множителем здесь будет 5x.

Вынесем 5x за скобки.

Тогда получим:

5x(3x²y – 2xy² + 1)

Помните, что при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: aⁿ: a^m = aⁿ^—^m, где a ≠ 0

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: aⁿ· a^m = aⁿ⁺^m

Еще один способ разложения многочленов на множители – метод группировки.

Разберем на примере:

3x³ – x² + 9x — 3

Сгруппируем:

(3x³ – x²) + (9x — 3)

Вынесем общий множитель каждой скобки:

x²(3x – 1) + 3(3x – 1)

Здесь есть идентичные скобки, их можно использовать в качестве общего множителя:

(3x — 1)( x² + 3)

Рациональная дробь — это дробь, числитель и знаменатель которой многочлены.

Рациональные дроби возможно сокращать.

Для этого раскладывают числитель и знаменатель на множители.