Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений – это важный этап в изучении алгебры, который включает в себя выполнение операций над дробями и полиномами.

Давайте разберемся, что это такое и как это делать.

Основные понятия

Прежде чем начать, нужно понимать несколько основных терминов:

Дробь – это выражение, представляющее собой отношение двух чисел (числителя и знаменателя).

Например, \( \cfrac{3}{4} \) – это дробь.

2. Полином – это алгебраическое выражение, состоящее из нескольких степеней переменной с некоторыми коэффициентами.

Например, \( 3x^2+4x+5 \) – это полином второй степени.

3. Рациональное выражение – это любое выражение, которое можно представить в виде отношения двух полиномов.

Например, \( \cfrac{x^2 + 3x + 2}{x-1} \) – это рациональное выражение.

Рассмотрим типы преобразований:

Найдите общие множители числителя и знаменателя и поделите их на этот общий множитель.

Например: \( \cfrac{2x(x + 3)}{2x(x — 1)} = \cfrac{x + 3}{x — 1} \)

В данном случае это 2x.

2. Умножение и деление дробей

Перемножьте или разделите числители и знаменатели.

Например: \( (\cfrac {3x}{x + 1}) \) ∙ \( (\cfrac{2}{3x — 6}) \) = \( \cfrac {6x}{(x + 1)(3x — 6)} \)

3. Сложение и вычитание дробей

Например: \( \cfrac{2}{3} + \cfrac{1}{2} \) = \( \cfrac{(2 * 2) + (1 * 3)}{3 * 2} \) = \( \cfrac {4 + 3} {6} \) = \( \cfrac {7}{6} \)

Здесь мы привели к общему знаменателю 6, перемножив числители на 2 и 3.

4. Преобразование алгебраических выражений

Используйте свойства алгебры, такие как распределительный закон, чтобы привести выражение к более простому виду.

Например: \( (3x + y)^2 = 9x^2 + 6xy + y^2 \)

5. Преобразование суммы в произведение и наоборот

Используйте формулы сокращенного умножения для преобразования сумм в произведения и обратно.

Например: \( x^2 + xy = x(x + y) \)

6. Преобразование дробей в сумму и обратно

Разложите дробь на сумму или представите сумму в виде дроби.

Например: \( \cfrac{a}{b} \) = a ∙ \( \cfrac{1}{b} + 0 \)

\( \cfrac{6a^2 — 12ab}{4a^2 — 8ab + 12b^2} \)

\( \cfrac{6a^2 — 12ab}{4a^2 — 8ab + 12b^2} \)= \( \cfrac{6a(a-2b)}{4a(a-2b) + 12b^2} \) = \( \cfrac{3(a-2b)}{2(a-2b) + 12b^2} \)

Сначала мы вынесли за скобку общий множитель, в данном случае, 6а и 4а.

Затем поделили числитель и знаменатель на 2a

2. Преобразуем выражение \( \cfrac{x^2 — y^2}{5(x+y)} \)

Сначала разложим числитель на множители:

\( x^2 — y^2 = (x + y)(x − y) \)

Теперь можно сократить: \( \cfrac{(x+y)(x-y)}{5(x+y)} \)= \( \cfrac{x-y}{5} \)