Пропорция – одно из фундаментальных понятий в математике, которое находит применение в самых разных областях науки и повседневной жизни.
В этой статье мы рассмотрим понятие пропорции, её основное свойство, а также способы решения задач с использованием пропорций.
Понятие пропорции
Пропорцией называют равенство двух отношений:
\( \cfrac{a}{b} \) = \( \cfrac{c}{d} \),
где a, b, c и d – некоторые числа, при этом b и d не равны нулю.
Число a называется первым членом пропорции, b – вторым, c – третьим, а d – четвёртым.
В пропорциональных отношениях часто используются термины «средний член» для обозначения второго и третьего членов (b и c), а также «крайние члены» для первого и четвёртого (a и d).
Таким образом, пропорцию можно записать так:
a : b = c : d
Основное свойство пропорции
Основное свойство пропорции гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов.
Математически это выражается следующим образом:
ad = bc
Это свойство является ключевым при решении многих математических задач, связанных с пропорциями.
Решение задач с помощью пропорции
Пример 1: Нахождение неизвестного члена пропорции
Пусть дана пропорция \( \cfrac{x}{4} \) = \( \cfrac{6}{8} \). Нам нужно найти значение x.
Используя основное свойство пропорции, получим:
x ⋅ 8 = 4 ⋅ 6
Решая уравнение относительно x, получаем:
8x = 24,
x = \( \cfrac{24}{8} \)= 3
Таким образом, x = 3
Пример 2: Решение задачи на проценты
Необходимо найти 20% от числа 150.
Для этого используем пропорцию:
\( \cfrac{x}{150} \)= \( \cfrac{20}{100} \)
Применяем основное свойство:
100x = 3000
x = 30
Таким образом, 20% от 150 составляют 30.
Пример 3: Задача на деление суммы пропорционально данным числам
Дана сумма 120 рублей, которую необходимо разделить между двумя людьми пропорционально числам 3 и 7.
Решение:
Составим пропорцию:
\( \cfrac{3}{7} \) = \( \cfrac{x}{120 — x} \),
где x — доля денег, которая достанется первому человеку, а (120 − x) — второму.
Решив эту пропорцию, получим:
3(120 − x) = 7x,
360 − 3x = 7x,
10x = 360
x = 36
Таким образом, первый человек получит 36 рублей, а второй — 84 рубля, т.е. 120 — 36
Пример 4: Расчёт процентного содержания вещества в смеси
Имеется смесь, состоящая из двух компонентов: А и Б.
Известно, что содержание компонента А составляет 40%, а компонента Б — 60%.
Если масса всей смеси равна 50 кг, сколько килограммов каждого компонента содержится в смеси?
Решение:
Составим пропорции:
\( \cfrac{A}{50} \)= \( \cfrac{40}{100} \),
\( \cfrac{A}{50} \)= 0.4
A = 0.4 ⋅ 50 = 20 кг,
Б = 50 − A = 30 кг.
Таким образом, в смеси содержится 20 кг компонента А и 30 кг компонента Б.
Пример 5: Разделение прибыли пропорционально вложенным средствам
Два предпринимателя вложили деньги в бизнес: первый — 600 тысяч рублей, второй — 400 тысяч рублей.
Общая прибыль составила 500 тысяч рублей.
Какую часть прибыли должен получить каждый предприниматель?
Решение:
Составим пропорцию, исходя из того, что прибыль должна делиться пропорционально вложенным деньгам:
P1 = (\( \cfrac{600}{600 + 400} \)) ⋅ 500 = (\( \cfrac{600}{1000} \)) ⋅ 500 = (\( \cfrac{3}{5} \)) ⋅ 500 = 300 (тыc. руб.),
P2 = (\( \cfrac{400}{600 + 400} \)) ⋅ 500 = (\( \cfrac{400}{1000} \)) ⋅ 500 = (\( \cfrac{2}{5} \)) ⋅ 500 = 200 (тыc. руб.).
Таким образом, первый предприниматель получит 300 тысяч рублей прибыли, а второй — 200 тысяч рублей.
