Рациональные выражения — это выражения, в которые включены числа, переменные, арифметические действия и операции возведения в степень.
Например:
\( (\cfrac {а} {3} + \cfrac {а}{4}) ∙ \cfrac {1} {а^2} \)
Есть частные случаи рациональных выражений:
- Степень, в виде: an = a ∙ a ∙ … ∙ a n раз
- Одночлен: 2а2bc3
- Дробь, как \( \cfrac {a}{b} \)
Преобразование рациональных выражений
Преобразование представляет собой запись этого выражения в упрощенном виде.
При преобразовании рационального выражения с разными операциями, действия выполняются в такой последовательности:
- операции с выражениями в скобках
- умножение и деление
- сложение и вычитание
Виды рациональных выражений
Целые рациональные выражения – это выражения, которые не содержат деление на переменную.
Например:
\( \cfrac {y – 5x}{15} \), 5a2, 25x, \( \cfrac {5}{7} \) и т.д.
Дробные рациональные выражения — это выражение, которые содержит деление на выражение с переменной.
Например:
\( \cfrac {a}{a + b} \), \( \cfrac {a+2}{a-6} \) и др.
Дробь является выражением, записанным в виде a/b.
Свойства рациональных выражений
Целое выражение имеет смысл при разных значениях, которые принимают переменные, в нее входящие.
По этой причине в любом случае представляется возможным совершать действия для определения этих значений.
Дробное выражение, при определенных значениях переменной, может не обладать смыслом.
Например:
- \( \cfrac {5}{7} \) не имеет смысла, если а = 0
- \( \cfrac {4а – 2b}{b-a} \) не имеет значения, если переменные а, b = 0
Если знаменатель не равен 0, то такое дробное выражение имеет смысл.
Допустимые значения — это значения переменных, при которых выражение имеет смысл.
Рациональная дробь — это дробь с числителем и знаменателем в виде многочленов.
Например:
\( \cfrac {3a + 4b}{2} \), \( \cfrac {5a-1}{a-b} \), \( \cfrac {x^2}{2} \), \( \cfrac {x^2 – 9}{x — 3} \)
Знаменатель дроби не равен 0.
Алгоритм определения допустимых значений переменных в дроби
Область допустимых значений (ОДЗ) – все допустимые значения переменных для выражения.
Алгоритм:
- Знаменатель с переменными необходимо приравнять к 0.
- Найти корни уравнения, которое получилось на первом этапе. При таких решениях знаменатель принимает нулевое значение.
- Полученные корни необходимо исключить из множества действительных чисел.
Примеры
Разберем несколько примеров.
Пример 1
Упростите выражение:
\( \cfrac {3} {x-2} + \cfrac {1} {2 — x} \)
Решение:
- Сначала приведем дроби к общему знаменателю: (x — 2)(2 — x)
Для этого умножим каждый числитель дробей на недостающий множитель:
- При перемножении получим следующую дробь: \( \cfrac {6-3x + x — 2}{(x-2)(2-x)} \)
- Далее приведем подобные слагаемые и получим: \( \cfrac {4 — 2x}{(x -2)(2 — x)} \)
- Теперь в числителе вынесем общий множитель за скобки: \( \cfrac {2(2 — x)}{(x -2)(2 — x)} \)
- Завершающим шагом в решении будет сокращение (2 — x): \( \cfrac {2}{(x — 2)} \)
Ответ: \( \cfrac {2}{(x — 2)} \)
Пример 2
Выполните действия:
Решение:
- Сначала выполним преобразование выражения в скобке, согласно последовательности действий.
Выражения в скобках считаются в первую очередь.
Для этого сначала приведем дроби к общему знаменателю:
\( \cfrac {(6a + 1)(a + 3) + (6a — 1)(a — 3)}{(a -3)(a + 3)} \)
- Тогда получим:
\( \cfrac {6a^2 + 18a + a + 3 + 6a^2 — 18a — a + 3}{(a — 3)(a + 3)} \)
- Далее сократим подобные слагаемые
В данном случае это: +18a и -18a, +a и -a — \( \cfrac {6a^2 + 3 + 6a^2 + 3}{(a — 3)(a + 3)} \)
- Приведем подобные слагаемые:
\( \cfrac {12a^2 + 6}{(a — 3)(a + 3)} \)
- В числителе вынесем общий множитель и преобразуем знаменатель, использую формулу квадрата разности:
\( \cfrac {6(2a^2 + 1)}{(a^2 — 9)} \)
Преобразование выражения в скобках мы закончили.
- Теперь выполним умножение первой дроби и преобразованной:
- Получим:
\( \cfrac {(a^2 — 9) * 6 (2a^2 + 1)}{(2a^2 + 1)(a^2 — 9)} \)
- Далее в числителе и знаменателе сократим (a2 — 9) и (2a2 + 1)
- Останется 6
Ответ: 6
Видео по теме можете посмотреть тут
