Алгебраическая дробь — дробь, в числителе и знаменателе которой многочлены с буквенными множителями.
Обыкновенные дроби — это частный случай алгебраических дробей.
Отличие обыкновенной дроби от алгебраической заключается в том, что при сокращении алгебраической дроби общим делителем может быть не только число, но и переменная или выражение.
Обычно алгебраическая дробь представляет собой сложную математическую конструкцию.
Сокращение позволяет упростить дальнейшие операции с дробью: сложение, умножение, сравнение и т. д.
Правило сокращения
Числитель и знаменатель можно делить на одинаковое число, одноименные буквы или на одинаковые множители (многочлены).
Нельзя сокращать дробь на разноименные буквенные обозначения.
Также нельзя делить числитель и знаменатель на переменную или цифру, входящую в многочлен, если она не выносится в качестве общего множителя выражения.
Пример сокращения дроби:
\( \cfrac{2xy}{2x(y + 3)} \)
Вынесение общего множителя
Удобно вынести за скобки общий множитель, после разделить на него числитель и знаменатель.
Общим делителем может быть число, переменная, или целое выражение.
Если необходимо изменить знаки в выражении на противоположные, то выносят (-1).
Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения
Разность квадратов: 
Квадрат суммы: 
Квадрат разности: 
Сумма кубов: 
Разность кубов: 
Куб суммы: 
Куб разности: 
Все эти формулы можно применить при сокращении алгебраических дробей, если в числителе и знаменателе есть выражения в квадратичной и кубической степени, к которым можно применить формулы сокращенного умножения.
Примеры
Пример 1
Упростить дробь: \( \cfrac {4a + 16b + 8}{a + 4b + 2} \)
Решение:
Вынесем общий множитель в числителе.
\( \cfrac {4(a + 4b + 2)}{a + 4b + 2} \)
У нас получился одинаковый трехчлен в числителе и знаменателе (a + 4b + 2).
Теперь сократим дробь и получим в ответе 4.
Ответ: 4
Пример 2
Упростить дробь:
Решение:
В числителе под корнем находится выражение, которое можно преобразовать в квадрат суммы.
В знаменателе в множителе (8x + 4y) можно вынести за скобку число 2.
Теперь вынесем квадрат суммы из-под корня (квадрат снимает корень):
Далее сократим дробь:
Ответ: \( \cfrac {1}{2(x — y)} \)
Можно посмотреть видео по теме тут
