Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый последующий член получается из предыдущего путем прибавления к нему постоянного числа, называемого разностью прогрессии.
В данной статье мы рассмотрим основные свойства арифметической прогрессии, формулы для нахождения её членов и суммы, а также примеры задач.
Основное свойство
Арифметическая прогрессия определяется как последовательность чисел a1, a2, a3, …, an, где каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянное число d, называемое разностью прогрессии.
Формально это можно записать так:
an+1 = an + d,
где an — это n-й член прогрессии, d — её разность.
Формула n-го члена
Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется следующая формула:
an = a1 + (n − 1) d, где a1 — первый член прогрессии, d — разность прогрессии, n — номер члена.
Сумма первых n членов
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
Sn = \( \cfrac{2a1 + (n – 1) d}{2} \)n,
где Sn — сумма первых n членов, a1 — первый член, d — разность прогрессии, n — количество членов.
Примеры задач
- Найти пятый член арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а разность прогрессии равна 2.
Используем формулу n-го члена:
a5 = a1 + (5 − 1) d = 3 + 4⋅2 = 3 + 8 =11
Ответ: 11
- Найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии, если первый член равен 5, а разность прогрессии равна 3.
Используем формулу суммы первых n членов:
S10 = \( \cfrac{2⋅5 + (10 − 1)⋅3}{2} \) ⋅10 = \( \cfrac{10 + 27}{2} \)⋅10 = 37⋅5 = 185
Ответ: 185
Видео по теме тут
